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独自走到操场边的石阶坐下。
这里相对安静,几棵梧桐树叶子已落尽,光秃秃的枝桠在灰白天空下勾勒出寂寥的线条。
我从帆布包里拿出了保温饭盒,早上母亲给我准备了两个烧饼夹牛肉,准备边吃边复习下午的数学。
我翻开笔记,重点复习函数奇偶性和立体几何中的线面垂直判定定理。
“羽哥!羽哥!”
一阵急促的脚步声传来,我抬头,看见王强满头大汗地跑来,胖乎乎的脸上写满紧张。
王强一屁股坐在我旁边,喘着气说:“哎呀妈呀,可算找到你了!你猜我上午考场的监考是谁?楚霸王!年级主任楚江南!他往讲台上一站,黑着脸,眼珠子瞪得像铜铃,吓得我头都不敢抬,化学卷子差点儿没写完!”
我忍不住笑了:“强子,你也太夸张了。楚老师虽然严厉,但不至于吃人吧?”
王强抹了把汗,心有余悸:“你不懂!他巡考时在我旁边站了足足三分钟,我手抖得笔都拿不稳!还好生物换了个女老师,不然我非崩溃不可。”
王强凑过来看我笔记,“下午数学咋样?我函数奇偶性老混,还有那个线面垂直,证明起来总绕弯子。”
我把笔记推过去,指着一道例题:“奇偶性关键看f(-x)等于f(x)还是-f(x),图像对称性结合着记。线面垂直嘛,记得判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么它和这个平面垂直。”
王强似懂非懂地点头,肚子突然“咕咕”叫起来。
我笑着打开饭盒,拿出一个烧饼夹牛肉递给他:“给,我妈做的,还温着呢!”
王强眼睛一亮,接过烧饼感激不尽:“羽哥,太谢谢你了!明天我给你带我妈做的酱香饼!”
“哎呀!不用不用!客气个啥?快吃吧!”我笑着回应道。
我们俩边吃边讨论,偶尔有凉风吹过,卷起几片枯叶,在空中打旋。
远处的篮球场上有几个住校生正在打篮球,喧闹声隐隐传来,更衬得我们这边的安静。
我把重点公式又默念一遍,心里默默祈祷下午考试顺利。
午休结束的预备铃响起,我和王强收拾东西,各自赶往考场。
下午三点,数学考试正式开始。
试卷发下来,我快速浏览,选择题和填空题还算顺手,但翻到解答题时,最后一道综合题让我心头一紧:
“已知函数f(x) = x3 + ax2 + bx + c,且f(x)为奇函数。在空间直角坐标系中,平面a过点p(1,2,3),且与直线l:x-1/2 = y-2/3 = z-3/4垂直。若直线l在平面a上的投影与函数f(x)的图像在某区间内具有相同的单调性,求a、b、c的值及该区间。”
这道题融合了函数奇偶性与立体几何中的线面垂直,难度不小。
我深吸一口气,强迫自己冷静下来。
先在草稿纸上写出奇函数性质:f(-x) = -f(x),代入得-x3 + ax2 - bx + c = -x3 - ax2 - bx - c,简化后2ax2 + 2c = 0对任意x成立,所以a=0,c=0。
这样f(x) = x3 + bx。
接着处理立体几何部分。
直线l的方向向量为(2,3,4),平面a与l垂直,所以l的方向向量就是a的法向量。
设平面方程为2(x-1) + 3(y-2) + 4(z-3) = 0,简化得2x + 3y + 4z - 20 = 0。
直线l在平面a上的投影……这里卡住了,投影直线怎么求?
我皱紧眉头,笔尖在纸上无意识地划着。
就在这时,脑海里突然浮现那晚藤萝架下的情景:晓晓拿着树枝在地上画图,我则用石子代表点,我们一起推导线面垂直的投影问题。
夜风微凉,藤萝叶子沙沙作响,晓晓的眼睛在月光下亮晶晶的:“羽哥哥,你看,投影就是直线‘压扁’在平面上,好比阳光下我们的影子,虽然变形了,但源头还是我们呀!”
晓晓用树枝比划着,将立体问题转化为平面问题,“找直线上两点在平面上的投影点,连起来就是投影直线!”
“影子……投影点……”我灵光一闪,对!
取直线上两点,比如p?(1,2,3)和p?(3,5,7),求它们在平面a上的投影点。
用点到平面距离公式……不,更直接的方法是设投影点坐标,满足在平面上且与原点连线与法向量平行。
计算稍显繁琐,但我沉住气,一步步推导,终于得到投影直线方程。
接下来,投影直线的单调性与f(x)=x3+bx的单调性关联。
f(x)=3x2+b,单调性取决于b的正负。
而投影直线是空间直线在平面上的投影,其参数方程求导后……我忽然意识到,投影直线在平面内是直线,单调性恒定,但f(x)是三次函数,单调性会变化。
题目说“在某区间内具有相同的单调性”,所以应该找f(x)的单调区间与投影直线单调性一致的部分。
经过一番计算,我得出b>0时,f(x)在(-∞,0)递减,(0,+∞)递增;而投影直线是单调递增的,所以取(0,+∞)区间。
最后代入点坐标验证,求得b=1。
完整答案:a=0, b=1, c=0,区间为(0, +∞)。
写完最后一步,我长舒一口气,抬头看钟,距离结束还有十
